Aksjomatyka liczb wymiernych

Data: 26 kwietnia 2008.
Dział: Biznes i Ekonomia.

Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych wewnątrz języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które aczkolwiek prawdziwe wewnątrz obrębie danej konstrukcji, nie dają się wywnioskować spośród aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się naznaczyć skończoną liczbą aksjomatów ano, tak aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. asercja Goodsteina), których nie można dowieść ani wywrócić na gruncie PA (choć wynikają one spośród aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym spośród aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona wewnątrz języku pierwszego coś koło tego, jednakowoż w ciągu owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest ona kategoryczna, lub każde dwójka modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że wielkość kardynalna owo wysoki poziom równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas moc zbioru owo wielkość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest garść złożona, bowiem nie inaczej zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, natomiast klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na postępowanie klas, nie moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba w następstwie tego limitować się aż do \\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\" klas równoważności natomiast zwyciężyć kolumna technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne wewnątrz nieznacznie cudzoziemski sposób: wielkość kardynalna owo tzw początkowa wielkość porządkowa, lub taka wielkość porządkowa, która nie jest równoliczna spośród żadną liczbą porządkową od czasu niej mniejszą (równoważnie: wielkość porządkowa która nie jest równoliczna spośród żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, każdy z osobna podsumowanie jest równoliczny spośród pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie plon, tak jak nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa plon A natomiast B są równoliczne (mają tę samą moc), gdyby elementy zbioru A można scalić wewnątrz pary spośród elementami zbioru B, nie inaczej tak aby każdy z osobna podstawy zbioru A natomiast każdy z osobna podstawy zbioru B były wykorzystane razu jednego natomiast jedynie raz.praca

Komentarze.