Alternatywne aksjomatyki

Data: 26 kwietnia 2008.
Dział: Biznes i Ekonomia.

Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia on, iż aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w języku pierwszego coś koło tego, jednak zbytnio to (jak wykazał Richard Dedekind) jest kobieta kategoryczna, czy każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, podobnie jak nieskończone, jest tzw. zakres zbioru. Dwa zbiory A dodatkowo B są równoliczne (mają tę samą moc), pod warunkiem elementy zbioru A można zmieszać w pary z elementami zbioru B, do tego stopnia by iks pierwiastek zbioru A dodatkowo iks pierwiastek zbioru B dawny wykorzystane kiedyś dodatkowo ale wręcz raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż ilość kardynalna to sala równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas zakres zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest poniekąd złożona, bo do tego stopnia zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, oraz klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na użycie klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy skutkiem tego reglamentować się aż do \\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\" klas równoważności dodatkowo rozbić seria technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w cokolwiek nowy sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, czy taka ilość porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, iks kompilacja jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które natomiast prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się dopełnić skończoną liczbą aksjomatów owszem, by prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. stwierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna można wykazać ani zaprzeczyć na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca

Komentarze.