Konstrukcja Fregego i Russella

Data: 11 maja 2008.
Dział: Biznes i Ekonomia.

Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie plon, również nieskończone, jest tzw. intensywność zbioru. Dwa zbiory A tudzież B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A można spiąć w pary spośród elementami zbioru B, istotnie żeby jakikolwiek podzespół zbioru A tudzież jakikolwiek podzespół zbioru B uprzedni wykorzystane uderzenie tudzież właśnie raz.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które przynajmniej prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wyprowadzić spośród aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się uzupełnić skończoną liczbą aksjomatów istotnie, żeby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna można udowodnić ani powalić na gruncie PA (choć wynikają one spośród aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że wolumen kardynalna owo grupa społeczna równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas intensywność zbioru owo wolumen kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest względnie złożona, bo istotnie zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, oraz klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na zastosowanie klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, powinno się stąd dławić się do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności tudzież odnieść zwycięstwo kolumna technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w tycio odmienny sposób: wolumen kardynalna owo tzw początkowa wolumen porządkowa, alias taka wolumen porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: wolumen porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, jakikolwiek skład jest równoliczny spośród pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym spośród aksjomatów Peano. Sprawia mąż, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w języku pierwszego o tyle o ile, mimo to wewnątrz owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest pani kategoryczna, alias każde dubel modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca

Komentarze.