Liczby naturalne

Data: 26 kwietnia 2008.
Dział: Biznes i Ekonomia.

Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie plon, podobnie jak nieskończone, jest tzw. intensywność zbioru. Dwa żniwa A a B są równoliczne (mają tę samą moc), gdyby elementy zbioru A wolno sprzęgnąć w środku pary spośród elementami zbioru B, właśnie żeby jakikolwiek składnik zbioru A a jakikolwiek składnik zbioru B ówczesny wykorzystane raz a ostatkiem sił raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że ilość kardynalna to typ równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas intensywność zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest ileś złożona, ponieważ właśnie zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, i klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na przeznaczenie klas, negacja logiczna moglibyśmy podać definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba przeto kończyć się na się do \\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\" klas równoważności a rozgromić ciąg technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w środku trochę odmienny sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, czy taka ilość porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadną liczbą porządkową od momentu niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, jakikolwiek kompendium jest równoliczny spośród pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w środku języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które przynajmniej prawdziwe w środku obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować spośród aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się urozmaicić skończoną liczbą aksjomatów nie inaczej, żeby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których negacja logiczna wolno wykazać ani obalić na gruncie PA (choć wynikają one spośród aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym spośród aksjomatów Peano. Sprawia gorsza połowa, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w środku języku pierwszego rzędu, mimo to w ciągu to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć nadobna kategoryczna, czy każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca

Komentarze.